Simplifier des fractions - Corrigé

Énoncé

Déterminer la forme irréductible de   \(a=\dfrac{855}{546}\)    et    \(b=\dfrac{504}{29\,106}\) .

Solution

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}855&3\\ 285&3\\ 95&5\\ 19&19\\ 1\end{array}\end{align*}\)  
donc \(855=3^2 \times 5 \times 19\) .

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}546&2\\ 273&3\\ 91&7\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)
donc \(546=2 \times 3 \times 7 \times 13\) .

On en déduit que :

\(\begin{align*}a=\frac{855}{546}=\frac{3^2 \times 5 \times 19}{2 \times 3 \times 7 \times 13}=\frac{3 \times 5 \times 19}{2 \times 7 \times 13}=\frac{285}{182}\end{align*}\) . 

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}504&2\\ 252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1\end{array}\end{align*}\)  
donc \(504=2^3 \times 3^2 \times 7\) .

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}29\,106&2\\ 14\,553&3\\ 4\,851&3\\ 1\,617&3\\ 539&7\\ 77&7\\ 11&11\\ 1\end{array}\end{align*}\)  
donc \(29\,106=2 \times 3^3 \times 7^2 \times 11\) .

On en déduit que : 

\(\begin{align*}b=\frac{504}{29\,106}=\frac{2^3 \times 3^2 \times 7}{2 \times 3^3 \times 7^2 \times 11}=\frac{2^2}{3 \times 7 \times 11}=\frac{4}{231}\end{align*}\) .